विमीय विश्लेषण एवं इसके अनुप्रयोग ( Uses Of dimensions )

⇨ विमा क्या होती है ? , विमा कैसे निकलते है ? , विमीय सूत्र क्या होता है ? , विमीय समीकरण क्या होती है ? ,
तथा विमीय विश्लेषण विधि क्या है ? ........ इन सब Topics के बारे में हम " मात्रक मापन एवं विमा " के अन्य PARTS में अध्ययन कर चुके |
इस Post में हम सीखेंगे कि विमीय विश्लेषण विधि कहाँ काम आती है अर्थात विमीय विश्लेषण विधि के Uses क्या है |

विमीय विश्लेषण एवं इसके अनुप्रयोग ( Uses Of dimensions ) :- इसमें हम विमीय विश्लेषण के निम्न अनुप्रयोगों ( uses ) के बारे में विस्तार में अध्ययन करेंगे -

किसी समीकरण की शुद्धता ( विमीय संगति ) की जाँच करना
विभिन्न भौतिक राशियों के मध्य सम्बन्ध ( Relation ) व्युत्पन ( Find ) करना
किसी समीकरण ( Equation ) में नियतांकों ( Constants ) और चरों ( Variables ) की विमाएं ज्ञान करना

1. किसी समीकरण की शुद्धता ( विमीय संगति ) की जाँच करना :-

How To Check ( Rules ) :-

समीकरण में दोनों तरफ विमा समान होनी चाहिए |
किसी भी समीकरण में केवल समान विमा वाली भौतिक राशि जोड़ी या घटाई जा सकती है |

Example :- 1. गति के प्रथम समीकरण की विमीय संगति की जाँच कीजिये ?

Ans. :- जैसा कि हम जानते है - V = u + at गति का प्रथम समीकरण है

V = u + at

जहाँ - V = किसी वस्तु का अंतिम वेग , u = वस्तु का प्रारंभिक वेग , a = वस्तु का त्वरण , t = समय

चूँकि हमें विमीय संगति की जाँच करनी है अर्थात समीकरण की दोनों तरफ विमा बराबर करनी है , इस लिए गति के प्रथम समीकरण के दोनों तरफ विमा लेने पर -

[ V ] = [ u ] + [ a ][ t ]

उपरोक्त विमीय समीकरण में V , u , a व t की विमा रखनें पर -

[ M^0 L^1 T^-1 ] = [ M^0 L^1 T^-1 ] + [ M^0 L^1 T^-2 ][ T^1 ]

यहाँ ध्यान दें कि चिन्ह ( ^ ) का मतलब घात है

[ M^0 L^1 T^-1 ] = [ M^0 L^1 T^-1 ] + [ M^0 L^1 T^-1 ]

[ M^0 L^1 T^-1 ] = 2[ M^0 L^1 T^-1 ]

Note :- विमीय विश्लेषण विधि में नियतांक ( Constant ) गुणांकों का कोई मतलब नहीं होता

है हम इन्हें हटा सकते है |

अत : [ M^0 L^1 T^-1 ] = [ M^0 L^1 T^-1 ]

जैसा कि उपरोक्त समीकरण में हम देख रहे है कि समीकरण में दोनों तरफ विमा समान है अत : हम कह सकते हैं कि गति का प्रथम समीकरण विमीय रूप शुद्ध समीकरण है |

Example :- 2. विमीय विश्लेषण विधि का उपयोग करके सिद्ध कीजिये कि गति के अन्य दो नियम भी विमीय रूप से शुद्ध है ?

Ans :- इस Example को विद्यार्थी स्वयं करनें की कोशिश करें और न होनें की Condition में आप नीचे दिए गये VIDEO को देखें और फिर करें |

[ 2.] किसी समीकरण ( Equation ) में नियतांकों ( Constants ) और चरों ( Variables ) की विमाएं ज्ञान करना :- चलिए इसको एक Example से समझनें की कोशिश करते है |

Example :- 1. समीकरण V = u + x में V तथा u किसी वस्तु के क्रमशः अंतिम तथा प्रारंभिक वेग

है तो नियतांक x की विमा बताओ ?

Ans :- V = u + x

जैसा की हमनें पढ़ा कि समान विमा वाली भौतिक राशियों को आपस में जोड़ सकते है , यहाँ x को वेग के साथ जोड़ा गया है अत : x की विमा वेग की विमा के समान है |

[ x ] = [ V ]

[ x ] = [ M^0 L^1 T^-1 ]

Example :- 2. समीकरण V = u + a/b में V तथा u किसी वस्तु के क्रमशः अंतिम तथा प्रारंभिक वेग

है तो नियतांक a एवं b की विमा बताओ ?

Ans :- इस Example को विद्यार्थी स्वयं करनें की कोशिश करें और न होनें की Condition में आप नीचे दिए गये VIDEO को देखें और फिर करें |

[ 3.] विभिन्न भौतिक राशियों के मध्य सम्बन्ध ( Relation ) व्युत्पन ( Find ) करना :- इस Topic को

समझनें के लिए आप नीचे दिए गये VIDEO को देखें |

Example :-1 किसी सरल लोलक ( Simple Pendulum ) का दोलन काल ( Time Period ) इसकी लम्बाई ( L )

गोलक के द्रव्यमान ( M ) तथा गुरुत्वीय त्वरण ( g ) पर निर्भर करता है तो विमीय विधि का उपयोग करके इसके दोलन काल का सूत्र व्युत्पित कीजिये ?

Ans :- पहले VIDEO देखें फिर करें |

NOTE :- विमीय विश्लेषण विधि में त्रिकोंमितीय ( Trigonometry ) पद जैसे ( sin𝚹 , cos𝚹 , tan𝚹 ...) , चरघातांकीय ( Exponential ) तथा Logarithmic पदों की विमा नहीं मानी जाती है |

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